Question

17．已知四边形ABCD内接于⊙O，AD：BC=1：2，BA、CD的延长线交于点E，且EF切⊙O于F．
（Ⅰ）求证：EB=2ED；
（Ⅱ）若AB=2，CD=5，求EF的长．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据圆内接四边形的性质，可得∠EAD=∠C，进而可得△AED∽△CEB，结合相似三角形的性质及已知可得结论；
（Ⅱ）根据切割线定理可得EF²=ED•EC=EA•EB，设DE=x，由AB=2，CD=5构造方程，解得DE，进而可得EF长．

解答 证明：（Ⅰ）∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠EAD=∠C，
又∵∠DEA=∠BEC，
∴△AED∽△CEB，
∴ED：EB=AD：BC=1：2，
即EB=2ED；
解：（Ⅱ）∵EF切⊙O于F．
∴EF²=ED•EC=EA•EB，
设DE=x，则由AB=2，CD=5得：
x（x+5）=2x（2x-2），解得：x=3，
∴EF²=24，即EF=2$\sqrt{6}$

点评 本题考查的知识点是圆内接四边形的性质，相似三角形的判定与性质，切割线定理，难度中档．