Question

已知在正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，E、F分别是D₁D、BD的中点，G在棱CD上，且CG=CD.

(1)求证：EF⊥B₁C；

(2)求EF与C₁G所成角的余弦值.

Answer 1

(1)证明：连结BC₁、B₁C,则B₁C⊥BC₁，又D₁C₁⊥平面C₁B₁BC，BC₁是BD₁在平面C₁B₁BC内的射影，由三垂线定理可得BD₁⊥B₁C.

在△BD₁D中，E、F分别是D₁D、BD的中点，

∴EF∥BD₁，

∴EF⊥B₁C.

(2)解：在D₁C₁上取点H，使D₁H=D₁C₁，设正方体棱长为8，则D₁H=1.

易知EH∥C₁G，则∠HEF即为所求角或其补角.

又易得EH=，EF=4，FH=.

∴由余弦定理有cos∠HEF=.

故∠HEF的补角为EF与C₁G所成的角，余弦值为.