Question

如图，已知在正方体ABCD—A′B′C′D′中，面对角线AB′、BC′上分别有两点E、F,且B′E=C′F,

求证：(1)EF∥平面ABCD；

(2)平面ACD′∥平面A′BC′.

Answer 1

思路解析：对于第(1)问,证明直线与平面平行可以从线线平行入手,也可以从面面平行入手来证.而对于第(2)问,一般可以转化为线线平行.

(1)证法一：(由线线平行证线面平行)

过点E、F分别作AB、BC的垂线EM、FN分别交AB、BC于点M、N，连结MN.

∵BB′⊥平面ABCD，∴BB′⊥AB，BB′⊥BC.

∴EM∥BB′，FN∥BB′.∴EM∥FN.

∵AB′=BC′，B′E=C′F，∴AE=BF.

又∠B′AB=∠C′BC=45°,∴Rt△AME≌Rt△BNF.

∴EM=FN,四边形MNFE是平行四边形.

∴EF∥MN.又MN平面ABCD,∴EF∥平面ABCD.

证法二：(由面面平行证线面平行)

过点E作EG∥AB交BB′于点G，连结GF.∴

∵B′E=C′F，B′A=C′B,∴.∴FG∥B′C∥BC.

又∵EG∩FG=G，AB∩BC=B,∴平面EFG∥平面ABCD.

又EF平面EFG，∴EF∥平面ABCD.

(2)证明：(由线线平行证面面平行)

如图9-3-18，∵在正方体ABCD—A′B′C′D′中，AD′∥BC′，CD′∥BA′,

又AD′∩CD′=D′，BC′∩BA′=B，∴平面ACD′∥平面A′BC′.

方法归纳  一般来说，线线关系、面面关系都转化为由线面关系来分析解决.该题证明线面平行用了两种证法.证法一利用了线面平行的判定定理，即由线线平行来证明线面平行;证法二利用了面面平行的性质定理，即由面面平行证明线面平行.