Question

（2013•门头沟区一模）已知：函数f（x）=sin²x+

3

cosxcos（

π

2

-x）．
（Ⅰ）求函数f（x）的对称轴方程；
（Ⅱ）当x∈[0，

7π

12

]时，求函数f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用诱导公式、二倍角公式及辅助角公式 对已知函数进行化简，然后结合正弦函数的对称性可求函数的对称轴
（Ⅱ）由x∈[0，

7π

12

]可得，2x-

π

6

∈[-

π

6

，π]，然后结合正弦函数的性质可求函数的最值

解答：解：（Ⅰ） f（x）=sin²x+

3

cosxcos（

π

2

-x）
=sin²x+

3

cosxsinx
=

1-cos2x

2

+

3 sin2x

2

…（5分）
=

3 sin2x

2

-

1

2

cos2x+

1

2

=sin（2x-

π

6

）+

1

2

                       …（7分）
函数关于直线  2x-

π

6

=

π

2

+kπ，k∈Z对称
所以 对称轴方程为x=

π

3

+

kπ

2

，k∈Z        …（9分）
（Ⅱ）当x∈[0，

7π

12

]时，2x-

π

6

∈[-

π

6

，π]
由函数图象可知，的sin（2x-

π

6

）最大值为1，最小值为-

1

2

…（12分）
所以函数f（x）的最大值为

3

2

，最小值为0              …（13分）

点评：本题 主要考查了二倍角公式、辅助角公式在三角函数的化简中的应用及正弦函数的性质的简单应用．