题目内容

(2013•门头沟区一模)如图已知平面α,β,且α∩β=AB,PC⊥α,PD⊥β,C,D是垂足.
(Ⅰ)求证:AB⊥平面PCD;
(Ⅱ)若PC=PD=1,CD=
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,试判断平面α与平面β的位置关系,并证明你的结论.
分析:对于问题(Ⅰ),要证明AB⊥平面PCD,只需证明垂直于平面PCD内的两条相交直线,根据本题的条件,只需证明AB⊥PC,AB⊥PD即可,而条件中的PC⊥α,PD⊥β,由线面垂直的定义可以得到PC⊥AB,PD⊥AB,问题得以解决;对于问题(Ⅱ),由于两个平面已经相交,所以应该考虑二者是否垂直,而由问题(Ⅰ)的结论,容易作出C-AB-D的平面角∠CHD,而PC=PD=1,CD=
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能够得到∠CPD=90°,由平面四边形内角定理,容易得到∠CHD=90°,由面面垂直的定义可以得证.
解答:解:(Ⅰ)因为PC⊥α,AB?α,所以PC⊥AB.同理PD⊥AB.
又PC∩PD=P,故AB⊥平面PCD.(5分)
(Ⅱ)设AB与平面PCD的交点为H,连接CH、DH.因为AB⊥平面PCD,
所以AB⊥CH,AB⊥DH,所以∠CHD是二面角C-AB-D的平面角.
PC=PD=1,CD=
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,所以CD2=PC2+PD2=2,即∠CPD=90°.
在平面四边形PCHD中,∠PCH=∠PDH=∠CPD=90°,
所以∠CHD=90°.故平面α⊥平面β.(14分)
点评:本题考查直线与平面垂直的判定以及平面与平面垂直的判定,根据判定定理,证明线面垂直往往转化为证线线垂直,而线线垂直的证明往往还需要线面垂直来得到,要注意二者之间的转化关系,对于面面垂直,定义也是常用的方法.
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