Question

（2013•门头沟区一模）已知函数f（x）=

2，        x≥0 x2+4x+2，  x＜0

的图象与直线y=k（x+2）-2恰有三个公共点，则实数k的取值范围是（　　）

A．（0，2）

B．（0，2]

C．（-∞，2）

D．（2，+∞）

Answer 1

分析：首先根据函数的表达式f（x）=

2，        x≥0 x2+4x+2，  x＜0

画出函数的图象，从而根据图象判断函数与直线的公共点的情况，最后结合两曲线相切与图象恰有三个不同的公共点的关系即可求得实数k的取值范围．

解答：解：画出函数f（x）=

2，        x≥0 x2+4x+2，  x＜0

，（如图）．
由图可知，当恒过抛物线的项点（-2，-2）的直线y=k（x+2）-2与函数的图象相切时，即直线y=k（x+2）-2的斜率k=0时，恰有一个公共点；
当直线y=k（x+2）-2过（0，2）时，k=

2-(-2)

0-(-2)

=2时，恰有二个公共点．
故函数f（x）=

2，        x≥0 x2+4x+2，  x＜0

的图象与直线y=k（x+2）-2恰有三个公共点，则实数k的取值范围是0＜k＜2．
故选A．

点评：本题主要考查函数的图象的交点以及数形结合方法，数形结合是数学解题中常用的思想方法，本题由于使用了数形结合的方法，使得问题便迎刃而解，且解法简捷．