Question

（2013•门头沟区一模）已知数列{A_n}的前n项和为S_n，a₁=1，满足下列条件
①?_n∈N^*，a_n≠0；
②点P_n（a_n，S_n）在函数f（x）=

x2+x

2

的图象上；
（I）求数列{a_n}的通项a_n及前n项和S_n；
（II）求证：0≤|P_n+1P_n+2|-|P_nP_n+1|＜1．

Answer 1

分析：（I）由题意Sn=

an2+an

2

，当n≥2时a_n=S_n-S_n-1，由此可得两递推式，分情况可判断数列{a_n}为等比数列或等差数列，从而可求得通项a_n，进而求得S_n；
（II）分情况讨论：当当a_n+a_n-1=0时，Pn((-1)n-1，

1-(-1)n

2

)，计算可得|P_n+1P_n+2|=|P_nP_n+1|=

5

，从而易得|P_n+1P_n+2|-|P_nP_n+1|的值；当a_n-a_n-1-1=0时，Pn(n，

n2+n

2

)，利用两点间距离公式可求得|P_n+1P_n+2|，|P_nP_n+1|，对|P_n+1P_n+2|-|P_nP_n+1|化简后，再放缩即可证明结论；

解答：（I）解：由题意Sn=

an2+an

2

，
当n≥2时a_n=S_n-S_n-1=

an2+an

2

-

an-12+an-1

2

，
整理，得（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0，
又?n∈N^*，a_n≠0，所以a_n+a_n-1=0或a_n-a_n-1-1=0，
当a_n+a_n-1=0时，a₁=1，

an

an-1

=-1，
得an=(-1)n-1，Sn=

1-(-1)n

2

；
当a_n-a_n-1-1=0时，a₁=1，a_n-a_n-1=1，
得a_n=n，Sn=

n2+n

2

．
（II）证明：当a_n+a_n-1=0时，Pn((-1)n-1，

1-(-1)n

2

)，
|P_n+1P_n+2|=|P_nP_n+1|=

5

，所以|P_n+1P_n+2|-|P_nP_n+1|=0，
当a_n-a_n-1-1=0时，Pn(n，

n2+n

2

)，
|P_n+1P_n+2|=

1+(n+2)2

，|P_nP_n+1|=

1+(n+1)2

，
|P_n+1P_n+2|-|P_nP_n+1|=

1+(n+2)2

-

1+(n+1)2

=

1+(n+2)2-1-(n+1)2

1+(n+2)2 + 1+(n+1)2

=

2n+3

1+(n+2)2 + 1+(n+1)2

，
因为

1+(n+2)2

＞n+2，

1+(n+1)2

＞n+1，
所以0＜

2n+3

1+(n+2)2 + 1+(n+1)2

＜1，
综上0≤|P_n+1P_n+2|-|P_nP_n+1|＜1．

点评：本题考查数列与函数的综合，考查分类讨论思想，解决本题的关键是利用a_n与S_n的关系先求得a_n．