Question

9．求值域：
（1）y=$\sqrt{2}$cos（2x-$\frac{π}{4}$），x∈[-$\frac{π}{8}$，$\frac{π}{2}$]；
（2）y=-3sin²x-4cosx+4．

Answer 1

分析 （1）根据x∈[-$\frac{π}{8}$，$\frac{π}{2}$]，求解出2x-$\frac{π}{4}$∈[$-\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{4}$]，利用余弦函数的性质求解值域即可．
（2）利用同角三角函数关系式化简，转为二次函数，利用其单调性求解值域即可．

解答 解：（1）函数y=$\sqrt{2}$cos（2x-$\frac{π}{4}$），
∵x∈[-$\frac{π}{8}$，$\frac{π}{2}$]；
∴2x-$\frac{π}{4}$∈[$-\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{4}$]，
当2x-$\frac{π}{4}$=0时，函数y取得最大值为$\sqrt{2}$；
当2x-$\frac{π}{4}$=$\frac{3π}{4}$时，函数y取得最小值为-1．
故得y=$\sqrt{2}$cos（2x-$\frac{π}{4}$），x∈[-$\frac{π}{8}$，$\frac{π}{2}$]的值域为[-1，$\sqrt{2}$]．
（2）y=-3sin²x-4cosx+4=-3（1-cos²x）-4cosx+4=3cos²x-4cosx+1，
令cosx=t，则-1≤t≤1，
函数y转化为f（t）=3t²-4t+1，
开口向上，对称轴t=$\frac{2}{3}$，
当t=$\frac{2}{3}$时，函数g（t）取得最小值为$-\frac{1}{3}$．
当t=-1时，函数g（t）取得最大值为8．
故得y=-3sin²x-4cosx+4的值域为[-$\frac{1}{3}$，8]．

点评 本题考查了函数值域的求法．利用了三角函数的性质和二次函数的单调性．属于基础题．