题目内容

定义在R上的函数f（x）满足f(
π
3
+x)=-f(x)及f（-x）=-f（x），则f（x）可以是（　　）
A、f(x)=2sin
1
3
x
B、f（x）=2sin3x
C、f(x)=2cos
1
3
x
D、f（x）=2cos3x
分析：由 f(
π
3
+x)=-f(x)，可得 f(
2π
3
+x)= f(x)，故函数f（x）的周期等于2π，据f（-x）=-f（x），可知函数f（x）是奇函数，检验各个选项．
解答：解：函数f（x）满足 f(
π
3
+x)=-f(x)，∴f(
2π
3
+x)= f(x)，
故函数f（x）的周期等于2π．
又 f（-x）=-f（x），故函数f（x）是奇函数，
同时满足这两个条件的只有B，
故选B．
点评：本题考查正弦函数的奇偶性和周期性的应用．
练习册系列答案
相关题目
定义在R上的函数f（x）既是偶函数又是周期函数，若f（x）的最小正周期是π，且当x∈[0，
π
2
]时，f（x）=sinx，则f（
5π
3
）的值为
 
．
20、已知定义在R上的函数f（x）=-2x3+bx2+cx（b，c∈R），函数F（x）=f（x）-3x2是奇函数，函数f（x）在x=-1处取极值．
（1）求f（x）的解析式；
（2）讨论f（x）在区间[-3，3]上的单调性．
定义在R上的函数f（x）满足：f(x+2)=
1-f(x)1+f(x)
，当x∈（0，4）时，f（x）=x2-1，则f（2010）=
 
．
已知定义在R上的函数f（x）=Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|≤
π
2
），最大值与最小值的差为4，相邻两个最低点之间距离为π，函数y=sin（2x+
π
3
）图象所有对称中心都在f（x）图象的对称轴上．
（1）求f（x）的表达式；    
（2）若f（
x0
2
）=
3
2
（x0∈[-
π
2
，
π
2
]），求cos（x0-
π
3
）的值．
已知定义在R上的函数f（x）的图象是连续不断的，且有如下对应值表：
x 0 1 2 3
f（x） 3.1 0.1 -0.9 -3
那么函数f（x）一定存在零点的区间是（　　）

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