Question

15．平面内给定三个向量$\overrightarrow a=（{3，2}），\overrightarrow b=（{-1，2}），\overrightarrow c=（{4，1}）$
（1）求满足$\overrightarrow a=m\overrightarrow b+n\overrightarrow c$的实数m、n；
（2）设$\overrightarrow d=（{x，y}）$满足$（{\overrightarrow d-\overrightarrow c}）∥（{\overrightarrow a+\overrightarrow b}）$且$|{\overrightarrow d-\overrightarrow c}|=1$，求$\overrightarrow d$．

Answer 1

分析 （1）根据向量相等与坐标运算，列出方程组，求出m、n的值；
（2）根据平面向量的坐标运算，结合向量平行与模长的坐标表示，列出方程组，求出结果．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow a=m\overrightarrow b+n\overrightarrow c$，
∴（3，2）=m（-1，2）+n（4，1），
即$\left\{\begin{array}{l}-m+4n=3\\ 2m+n=2\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}m=\frac{5}{9}\\ n=\frac{8}{9}.\end{array}\right.$；
（2）∵$\overrightarrow d-\overrightarrow c=（{x-4，y-1}）$，$\overrightarrow a+\overrightarrow b=（{2，4}）$，
又$（{\overrightarrow d-\overrightarrow c}）∥（{\overrightarrow a+\overrightarrow b}）$，且$|{\overrightarrow d-\overrightarrow c}|=1$，
∴$\left\{\begin{array}{l}4（x-1）-2（y-1）=0\\{（x-4）^2}+{（y-1）^2}=1\end{array}\right.$；
解得$\left\{\begin{array}{l}x=4+\frac{{\sqrt{5}}}{5}\\ y=1+\frac{{2\sqrt{5}}}{5}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}x=4-\frac{{\sqrt{5}}}{5}\\ y=1-\frac{{2\sqrt{5}}}{5}\end{array}\right.$；
∴$\overrightarrow d=（{\frac{{20+\sqrt{5}}}{5}，\frac{{5+2\sqrt{5}}}{5}}）$，或$（\frac{{20-\sqrt{5}}}{5}，\frac{{5-2\sqrt{5}}}{5}）$．

点评 本题考查了平面向量的坐标表示与运算问题，也考查了解方程组的应用问题，是基础题目．