Question

x＞0，y＞0，且

2

x

+

1

y

=4，若x+2y≥m²-2m-6恒成立，则m范围是

-2≤m≤4

．

Answer 1

分析：先把x+2y转会为（x+2y）（

2

x

+

1

y

）×

1

4

展开后利用基本不等式求得其最小值，然后根据x+2y≥m²-2m-6求得m²-2m-6≤2，进而求得m的范围．

解答：解：∵∴x+2y=（x+2y）（

2

x

+

1

y

）×

1

4

=

1

4

（4+4×

y

x

+

x

y

）≥

1

4

（4+2×2）=2，
当且仅当4×

y

x

=

x

y

时取等号，
∵x+2y≥m²-2m-6恒成立，
∴m²-2m-6≤2，求得-2≤m≤4，
故答案为：-2≤m≤4．

点评：本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用、函数恒成立问题．考查了学生分析问题和解决问题的能力．