题目内容

（2012•淮南二模）设函数f（x）=asin2x+bcos2x，其中a，b∈R．ab≠0，若f（x）≤|f（
π
6
）|对一切x∈R恒成立，则
①f（
11π
12
）=0；  ②|f（
7π
12
）|＜|f（
π
5
）|；
③函数y=f（x）既不是奇函数也不是偶函数；
④函数y=f（x）的单调递增区间是：[kπ+
π
6
，kπ+
2π
3
]（k∈Z）；
⑤经过点（a，b）的所有直线均与函数y=f（x）的图象相交．
以上结论正确的是
①③⑤
①③⑤
（写出所有正确结论的编号）．
分析：由辅助角公式，化简得f（x）=
a2+b2
sin（2x+θ），结合已知不等式得f（
π
6
）是函数的最大或最小值，从而得到
f（x）=
a2+b2
sin（2x+
π
6
+kπ）=±
a2+b2
sin（2x+
π
6
）．再根据三角函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质，对各选项逐个加以判断，可得①③⑤通过证明可得其正确性，而②④存在反例说明它们不正确．
解答：解：f（x）=asin2x+bcos2x=
a2+b2
sin（2x+θ），其中角θ满足cosθ=
a
a2+b2
，sinθ=
b
a2+b2

∵f（x）≤|f（
π
6
）|对一切x∈R恒成立，
∴f（
π
6
）=
a2+b2
或-
a2+b2
，得2×
π
6
+θ=
π
2
+kπ，k∈Z
因此θ=
π
6
+kπ，k∈Z．f（x）=
a2+b2
sin（2x+
π
6
+kπ）=
a2+b2
sin（2x+
π
6
）或-
a2+b2
sin（2x+
π
6
）
对于①，因为sin（2×
11π
12
+
π
6
）=sin2π=0，所以f（
11π
12
）=±
a2+b2
sin（2×
11π
12
+
π
6
）=0，故①正确；
对于②，|f（
7π
12
）|=|
a2+b2
sin（2×
7π
12
+
π
6
）|=
3
2
a2+b2

∵|f（
π
5
）|=|
a2+b2
sin（2×
π
5
+
π
6
）|=
a2+b2
sin
17π
30
＜
3
2
a2+b2

∴|f（
7π
12
）|＞|f（
π
5
）|，故②不正确；
对于③，根据函数的表达式，得f（-x）≠±f（x），故y=f（x）既不是奇函数也不是偶函数，故③正确；
对于④，因为函数的表达式f（x）=
a2+b2
sin（2x+
π
6
）或-
a2+b2
sin（2x+
π
6
），
表达式不确定，故[kπ+
π
6
，kπ+
2π
3
]（k∈Z）不一定是增区间，故④不正确；
对于⑤，采用反证法
设经过点（a，b）的一条直线与函数y=f（x）的图象不相交，则此直线与x轴平行
方程为y=b，且|b|＞
a2+b2
，平方得b2＞a2+b2矛盾，故假设不成立
∴经过点（a，b）的所有直线均与函数y=f（x）的图象相交．故⑤正确．
故答案为：①③⑤
点评：本题给出符合已知条件的三角函数表达式，叫我们判断几个选项的正确性，着重考查了函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质、两角和与差的三角函数和反证法等知识，属于中档题．
练习册系列答案
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f(x)dx=（　　）

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