Question

（09年朝阳区二模）（13分）

已知双曲线的左顶点为，右焦点为，右准线与一条渐近线的交点坐标为．

（Ⅰ）求双曲线的方程；

（Ⅱ）过右焦点的直线(不与x轴重合)与双曲线交于两点，且直线、分别交双曲线的右准线于、两点，求证：为定值．

Answer 1

 解析：（Ⅰ）双曲线的右准线为，渐近线为.

因为右准线与一条渐近线的交点坐标为，

所以解得．

于是，双曲线的方程为．            ………………………5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知点的坐标分别为，右准线为．

当直线斜率不存在时，点的坐标分别为，

则直线方程分别为，

令，得的坐标分别为，

此时．

当直线的斜率存在时，设直线的方程为，

由得．

因为直线与双曲线交于两点，

所以，，解得．

设两点坐标分别为，

则，．

则直线方程分别为，

令，得的坐标分别为，

所以

           

　　　　　　

            ．

所以，为定值．                 ………………………13分