Question

（09年朝阳区二模理）（14分）

已知函数．

(Ⅰ)求函数的最小值；

(Ⅱ)求证：；

(Ⅲ)对于函数与定义域上的任意实数，若存在常数，使得和都成立，则称直线为函数与的“分界线”.设函数，，与是否存在“分界线”？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

解析：(Ⅰ)解：因为，令，解得，

令，解得，

所以函数在上递减，上递增，

所以的最小值为．                   ………………………3分

(Ⅱ)证明：由(Ⅰ)知函数在取得最小值，所以，即

两端同时乘以得，把换成得，当且仅当时等号成立．

由得，，， ，…

         ，．

将上式相乘得

．………………………9分

（Ⅲ）设.

    则．

   所以当时，；当时，．

因此时取得最小值0，则与的图象在处有公共点．

设与存在 “分界线”，方程为.

由在恒成立，

则在恒成立.

所以成立.因此.

下面证明成立.

 设，.

 所以当时，；当时，.

        因此时取得最大值0，则成立.

所以，.                          ………………………14分