Question

如图，A₁，A为椭圆的两个顶点，F₁、F₂为椭圆的两个焦点．

(1)写出椭圆的方程及其准线方程．

(2)过线段OA上异于O、A的任一点K作OA的垂线，交椭圆于P，P₁两点，直线A₁P与AP₁交于点M．

求证：点M在双曲线－＝1上．

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)解：由图可知，a＝5，c＝4，所以b＝＝3．该椭圆的方程为＋＝1，准线方程为x＝±． 　　(Ⅱ)证明：设K点坐标为(x0，0)．点P、P1的坐标分别记为(x0，y0)，(x0，－y0)，其中0＜x0＜5，则＋＝1．　　① 　　直线A1P、P1A的方程分别为；(x0＋5)y＝y0(x＋5)，　　② 　　(5－x0)y＝y0(x－5)．　　③ 　　②式除以③式得＝． 　　化简上式得x＝，代入②式得y＝． 　　于是，直线A1P与AP1的交点M的坐标为(，)．因为()2－()2＝－(1－)＝1，所以，直线A1P与AP1的交点M在双曲线－＝1上．