题目内容

如图，在△OAB中，延长BA到C，使AC=BA，在OB上取点D，使DB= $数学公式$ OB，DC与OA交于E，设 $数学公式$ = $数学公式$ ， $数学公式$ = $数学公式$ ，用 $数学公式$ ， $数学公式$ 表示向量 $数学公式$ ， $数学公式$ ， $数学公式$ ．

解：因为A是BC的中点，所以 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ），∴ $\text{[math]}$ =2 $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ =2 $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ．

∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =2 $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ =2 $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ．
由于D、E、C三点共线，
∴ $\text{[math]}$ =λ• $\text{[math]}$ =λ（2 $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ）=2λ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ．
由于 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ +μ $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ +μ $\text{[math]}$ ．
∴2λ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ +μ $\text{[math]}$ ，故有 2λ=μ， $\text{[math]}$ λ=- $\text{[math]}$ ．
解得 λ= $\text{[math]}$ ，μ= $\text{[math]}$ ．
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ．
分析：由 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）求出 $\text{[math]}$ ；根据 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ 求得结果；由于D、E、C三点共线，可得 $\text{[math]}$ =λ• $\text{[math]}$ =2λ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，再由 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ +μ $\text{[math]}$ ，故有2λ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ +μ $\text{[math]}$ ，解出λ和μ的值，即可求得 $\text{[math]}$ ．
点评：本题考查平面向量基本定理及向量的表示，两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算，属于中档题．