Question

10．已知圆C的圆心为（3，0），且经过点A（4，1），直线l：y=x．
（1）求圆C的方程；
（2）若圆C₁与圆C关于直线l对称，点B、D分别为圆C、C₁上任意一点，求|BD|的最小值；
（3）已知直线l上一点P在第一象限，两质点M、N同时从原点出发，点M以每秒1个单位的速度沿x轴正方向运动，点N以每秒$2\sqrt{2}$个单位沿射线OP方向运动，设运动时间为t秒．问：当t为何值时直线MN与圆C相切？

Answer 1

分析 （1）求出圆的半径，写出圆的方程即可．
（2）求出对称圆的圆心坐标，判断|BD|的最小值的情况，利用距离公式求解即可．
（3）设运动时间为t秒，依据题意求得M、N的坐标，可得M、N的斜率，由点斜式求的MN的方程，再根据当直线MN与圆C相切时，圆心C到直线MN的距离等于半径，求得t的值．

解答 解：（1）圆的圆心（3，0），且经过点A（4，1），圆的半径为：r=$\sqrt{（{4-3）}^{2}+（1-0）^{2}}$=$\sqrt{2}$．
圆的方程为：（x-3）²+y²=2．
（2）圆C₁与圆C关于直线l对称，可得圆C₁：x²+（y-3）²=2．
点B、D分别为圆C、C₁上任意一点，|BD|的最小值就是两个圆的圆心距减去两个半径．
圆心距为：3$\sqrt{2}$，
|BD|的最小值为：$\sqrt{2}$．
（3）设运动时间为t秒，则由题意可得|OM|=t，|ON|=2$\sqrt{2}$t，则点P（t，0）．
由于点N在直线l上，设N（m，n），m＞0，n＞0，则有m²+n²=（2$\sqrt{2}$t）²，解得m=2t，即N（2t，2t）．
故MN的斜率为$\frac{2t-0}{2t-t}$=2，
所以MN的方程为y-0=2（x-t），即2x-y-2t=0．
当直线MN与圆C相切时，圆心C到直线MN的距离等于半径，即$\frac{|2×3-0-2t|}{\sqrt{{2}^{2}+1}}$=$\sqrt{2}$，
解得t=3±$\frac{\sqrt{10}}{2}$，
故当t=3±$\frac{\sqrt{10}}{2}$时，直线MN与圆C相切．

点评 本题主要考查圆的标准方程，直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，属于中档题．