Question

5．Rt△ABC的角A，B，C所对的边分别是a，b，c（其中c为斜边），分别以a，b，c边所在的直线为旋转轴，将△ABC旋转一周得到的几何体的体积分别是V₁，V₂，V₃，则（　　）

• A． V₁+V₂=V₃
• B． $\frac{1}{V_1}+\frac{1}{V_2}=\frac{1}{V_3}$
• C． $V_1^2+V_2^2=V_3^2$
• D． $\frac{1}{V_1^2}+\frac{1}{V_2^2}=\frac{1}{V_3^2}$

Answer 1

分析 利用直角三角形的三边分别为a、b、c，a²+b²=c²，c为斜边，分别求得V₁、V₂、V₃的值，可得结论．

解答 解：因为直角三角形的三边分别为a、b、c，a²+b²=c²，即c为斜边，
则以边c所在直线为轴，将三角形旋转一周所得旋转体的体积为V₃，则V₃ =$\frac{1}{3}$π（$\frac{ab}{c}$）2•c=$\frac{1}{3}$πa²•b²•$\frac{1}{c}$，
以边a所在直线为轴，将三角形旋转一周所得旋转体的体积为V₁，则V₁=$\frac{1}{3}$πb²•a，
以边b所在直线为轴，将三角形旋转一周所得旋转体的体积为V₂，则V₂=$\frac{1}{3}$πa²•b，
∴$\frac{1}{{V}_{1}^{2}}+\frac{1}{{V}_{2}^{2}}=\frac{1}{{V}_{3}^{2}}$，
故选：D．

点评 本题考查几何体的体积的求法与大小关系，考查计算能力，属于中档题．