Question

15．求双曲线的标准方程
（1）求中心在原点，对称轴为坐标轴经过点P（1，-3）且离心率为$\sqrt{2}$的双曲线标准方程．
（2）求与双曲线$\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$共渐近线且过$A（{2\sqrt{3}，-3}）$点的双曲线标准方程．

Answer 1

分析 （1）设所求双曲线方程为：$\frac{x^2}{k}-\frac{y^2}{k}=1（{k≠0}）$，由双曲线经过点P（1，-3），能求出双曲线方程．
（2）法一：双曲线$\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$的渐近线方程为：$y=±\frac{3}{4}x$，从而$b=\frac{3}{4}a$，由$A（{2\sqrt{3}，-3}）$在双曲线上，利用待定系数法能求出双曲线方程．
法二：设与双曲线$\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$共渐近线的双曲线方程为：$\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=λ（{λ≠0}）$，由点$A（{2\sqrt{3}，-3}）$在双曲线上，利用待定系数法能求出双曲线方程．

解答 解：（1）∵双曲线的中心在原点，对称轴为坐标轴，且离心率为$\sqrt{2}$，
∴设所求双曲线方程为：$\frac{x^2}{k}-\frac{y^2}{k}=1（{k≠0}）$，
∵双曲线经过点P（1，-3），∴$\frac{1}{k}-\frac{{{{（{-3}）}^2}}}{k}=1$，
∴$\frac{1}{k}-\frac{9}{k}=1$，∴k=-8，
∴所求双曲线方程为$\frac{y^2}{8}-\frac{x^2}{8}=1$．
（2）解法一：双曲线$\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$的渐近线方程为：$y=±\frac{3}{4}x$
（i）设所求双曲线方程为$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$
∵$\frac{b}{a}=\frac{3}{4}$，∴$b=\frac{3}{4}a$①
∵$A（{2\sqrt{3}，-3}）$在双曲线上
∴$\frac{12}{a^2}-\frac{9}{b^2}=1$②
由①-②，得方程组无解
（ii）设双曲线方程为$\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1$
∵$\frac{b}{a}=\frac{3}{4}$，∴$b=\frac{4}{3}a$③
∵$A（{2\sqrt{3}，-3}）$在双曲线上，∴$\frac{9}{a^2}-\frac{12}{b^2}=1$④
由③④得${a^2}=\frac{9}{4}$，b²=4
∴所求双曲线方程为：$\frac{y^2}{{\frac{9}{4}}}-\frac{x^2}{4}=1$．
综上，所求双曲线方程为$\frac{y^2}{{\frac{9}{4}}}-\frac{x^2}{4}=1$．
（2）解法二：设与双曲线$\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$共渐近线的双曲线方程为：$\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=λ（{λ≠0}）$
∵点$A（{2\sqrt{3}，-3}）$在双曲线上，∴$λ=\frac{12}{16}-\frac{9}{9}=-\frac{1}{4}$
∴所求双曲线方程为：$\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=-\frac{1}{4}$，即$\frac{y^2}{{\frac{9}{4}}}-\frac{x^2}{4}=1$．

点评 本题考查双曲线方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意双曲线的性质和待定系数法的合理运用．