Question

已知ABCD为直角梯形，∠DAB=∠ABC=90°，SA⊥平面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=

1

2

，求平面SAB与SCD的夹角．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法

专题：空间角

分析：以A为原点，AD为x轴，AB为y轴，AS为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面平面SAB与SCD的夹角．

解答： 解：以A为原点，AD为x轴，AB为y轴，AS为z轴，
建立空间直角坐标系，
由已知得A（0，0，0），S（0，0，1），
B（0，1，0），C（0，1，1），D（

1

2

，0，0），
∴

SA

=（0，0，-1），

SB

=（0，1，-1），

SC

=（0，1，0），

SD

=（

1

2

，0，-1），
设平面SAB的法向量

n

=（x，y，z），
则

n • SA =-z=0 n • SB =y-z=0

，∴

n

=（1，0，0），
设平面SCD的法向量

m

=（a，b，c），
则

m • SC =b=0 m • SD = 1 2 a-c=0

，取a=2，得

m

=（2，0，1），
设平面平面SAB与SCD的夹角为θ，
cosθ=|cos＜

n

，

m

＞|=|

2

1× 5

|=

2 5

5

．
∴平面SAB与SCD的夹角为arccos

2 5

5

．

点评：本题考查二面角的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．