Question

直线l过点M（1，1），与椭圆+=1交于P，Q两点，已知线段PQ的中点横坐标为，求直线l的方程．

Answer 1

【答案】分析：平方差法：易判断直线存在斜率，设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），PQ的中点为（，y），把P、Q坐标代入椭圆方程两式相减，利用斜率公式及中点坐标公式可用y表示出直线斜率，再用M点坐标及中点的坐标可表示出斜率，从而得到关于y的方程，解出y后即可求得斜率，用点斜式即可求得直线方程．
解答：解：易知直线l存在斜率，
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），PQ的中点为（，y），则x₁+x₂=1，y₁+y₂=2y，
把P、Q坐标代入椭圆方程，得①，，
①-②得，，即=-=-，
又=，
所以=-，解得，，
则直线斜率k=-=1±，
所以直线l方程为：y-1=（1+）（x-1）或y-1=（1-）（x-1），即y=（1+）（x-1）+1或y=（1-）（x-1）+1．
点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系，属中档题，凡涉及弦中点问题可用平方差法解决．