Question

直线l过点M（1，1），与椭圆

x2

16

+

y2

4

=1交于P，Q两点，已知线段PQ的中点横坐标为

1

2

，求直线l的方程．

Answer 1

分析：平方差法：易判断直线存在斜率，设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），PQ的中点为（

1

2

，y₀），把P、Q坐标代入椭圆方程两式相减，利用斜率公式及中点坐标公式可用y₀表示出直线斜率，再用M点坐标及中点的坐标可表示出斜率，从而得到关于y₀的方程，解出y₀后即可求得斜率，用点斜式即可求得直线方程．

解答：解：易知直线l存在斜率，
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），PQ的中点为（

1

2

，y₀），则x₁+x₂=1，y₁+y₂=2y₀，
把P、Q坐标代入椭圆方程，得

x12

16

+

y12

4

=1①，

x22

16

+

y22

4

=1②，
①-②得，

x12-x22

16

+

y12-y22

4

=0，即

y1-y2

x1-x2

=-

x1+x2

4(y1+y2)

=-

1

8y0

，
又

y1-y2

x1-x2

=

y0-1

1 2 -1

，
所以

y0-1

1 2 -1

=-

1

8y0

，解得y0=

1

2

+

5

4

，y0=

1

2

-

5

4

，
则直线斜率k=-

1

8y0

=1±

5

2

，
所以直线l方程为：y-1=（1+

5

2

）（x-1）或y-1=（1-

5

2

）（x-1），即y=（1+

5

2

）（x-1）+1或y=（1-

5

2

）（x-1）+1．

点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系，属中档题，凡涉及弦中点问题可用平方差法解决．