Question

直线l过点M（1，1），与椭圆

x2

4

+

y2

3

=1相交于A、B两点，若AB的中点为M，试求直线l的方程．

Answer 1

分析：由于A，B两点是直线与椭圆的交点，故他们应满足椭圆方程，设出它们的坐标，然后根据它们的中点为M，可将坐标间的关系转化为求直线l的斜率，然后再由点斜式求出直线方程．

解答：解：设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
则

x 2 1

4

+

y 2 1

3

=1，①

x 2 2

4

+

y 2 2

3

=1．②
①-②，得

(x1-x2)(x1+x2)

4

+

(y1-y2)(y1+y2)

3

=0．
∴

y1-y2

x1-x2

=-

3

4

•

x1+x2

y1+y2

．
又∵M为AB中点，
∴x₁+x₂=2，y₁+y₂=2．
∴直线l的斜率为-

3

4

．
∴直线l的方程为y-1=-

3

4

（x-1），
即3x+4y-7=0．

点评：在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件，用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线，故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况．