Question

设椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为e=

3

2

，M是椭圆C上的一点，且点M到椭圆C两焦点的距离之和为4．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过椭圆C的左顶点A的直线l交椭圆于另一点B，P（0，t）是y轴上一点，满足|PA|=|PB|，

PA

•

PB

=4，求实数t的值．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：平面向量及应用,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）根据椭圆的定义与离心率求出b²与a²，得椭圆C的标准方程；
（2）由题意得P是线段AB垂直平分线上的点，讨论AB⊥y轴和AB与y轴不垂直时，求出t的值．

解答： 解：（1）根据题意得，2a=4，∴a=2；
又∵e=

c

a

=

3

2

，∴c=

3

；
∴b²=a²-c²=4-3=1，
∴椭圆C的方程为

x2

4

+y²=1；
（2）∵P（0，t）是y轴上一点，且|PA|=|PB|，
∴P是线段AB垂直平分线上的点；
∴①当AB⊥y轴时，A（-2，0），B（2，0），
则

PA

=（-2，-t），

PB

=（2，-t）；
∴

PA

•

PB

=-4+t²=4，
解得t=±2

2

；
②当AB与y轴不垂直时，设B（x₁，y₁）（y₁≠0），∴AB的中点为（

x1-2

2

，

y1

2

），
则线段AB的垂直平分线方程为y-

y1

2

=-

x1+2

y1

（x-

x1-2

2

），
令x=0，则t=

x12-4+y12

2y1

=-

3

2

y₁，
∴

PA

=（-2，

3

2

y₁），

PB

=（x₁，

5

2

y₁），
∴

PA

•

PB

=-2x₁+

15

4

y12=-2x₁+

15

4

•

4-x12

4

=4，
∴x₁=-

2

15

或x₁=-2（舍去），
∴y₁²=

4-x12

4

=

224

225

，
∴y₁=±

4 14

15

，
∴t=±

2 14

5

，
综上，t的值为±2

2

或±

2 14

5

．

点评：本题考查了椭圆的方程，也考查了直线与椭圆的位置关系，考查了分类讨论的数学思想，考查向量的数量积公式，是难题．