题目内容

已知函数 $数学公式$ （x∈（-∞， $数学公式$ ，（ $数学公式$ ，+∞））．
（1）判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；
（2）指出函数f（x）在区间 $数学公式$ ，+∞）上的单调性，并加以证明．

解：（1）∵函数的定义域（-∞， $\text{[math]}$ ∪（ $\text{[math]}$ ，+∞）关于原点对称．
且 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =-f（x），
所以函数f（x）是奇函数．
（2）设 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．设-m＜x₁＜x₂，则g（x₁）-g（x₂）= $\text{[math]}$ ，
因为m＜0， $\text{[math]}$ ，所以x₂-x₁＞0，2x₁+1＞0，2x₂+1＞0，
所以 $\text{[math]}$ ，即g（x₁）＜g（x₂），
因为 $\text{[math]}$ 是减函数，所以 $\text{[math]}$ ，即f（x₁）＞f（x₂），
所以f（x）在 $\text{[math]}$ ，+∞）上是减函数．
分析：（1）根据奇偶性的定义，判断f（-x）与f（x）之间的关系，即可判断函数f（x）的奇偶性；
（2）利用原始的定义进行证明，在区间 $\text{[math]}$ ，+∞）上任取x₁，x₂且x₁＜x₂，只要证f（x₂）＞f（x₁）就可以可，把x₁和x₂分别代入函数f （x）进行证明．
点评：此题主要考查多项式函数的定义域、奇偶性和单调性，解题的关键是利用定义进行证明，是一道基础题．