Question

已知函数f(x)=log3

1-m(x-2)

x-3

的图象关于点（2，0）对称．
（1）求实数m的值；
（2）当x∈（3，4）时，求f（x）的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先由f（x）的图象关于点（2，0）对称得f（2-x）+f（2+x）=0将此式利用函数解析式代入，求实数m的值；
（2）由（1）得：f(x)=log3(1+

2

x-3

)考查此函数在x∈（3，4）时，的单调性，从而求得f（x）的取值范围．

解答：解：（1）由f（x）的图象关于点（2，0）对称得f（2-x）+f（2+x）=0，（2分）
所以在其定义域内有log3

1+mx

-x-1

+log3

1-mx

x-1

=0，（4分）
故log3

(1+mx)•(1-mx)

(1+x)•(1-x)

=0，所以m²=1．（6分）
又m=1时，函数表达式无意义，所以m=-1，此时f(x)=log3

x-1

x-3

．（8分）
（2）f(x)=log3(1+

2

x-3

)，（10分）
x∈（3，4）时，y=1+

2

x-3

是减函数，值域为（3，+∞），（12分）
所以当x∈（3，4）时，f（x）的取值范围为（1，+∞）．（14分）

点评：本小题主要考查函数单调性的应用、函数对称性的应用、对数函数的图象与性质等基础知识，解答的关键是运算求解能力，数形结合思想的应用．属于基础题．