Question

【题目】定义在上的函数满足，，且当时，，则方程在上所有根的和为______________

Answer 1

【答案】16

【解析】

根据推出周期,根据，,以及当时，,推出的解析式,根据解析式作出一个周期的图象,再根据周期得到函数在的图象,根据得到的图象关于成中心对称,由图可知8个交点分成4组 关于成中心对称,由对称性可得答案.

因为,而,

所以,即,

所以的图象关于点成中心对称,

当时,,

当时,,所以,

当时, ,所以,

当时,,所以,

又由,得,

所以,所以的周期为4,

由此可得函数在内的图像和函数的图象,

如图所示:

因为方程在上所有根的和等于函数与函数的交点的横坐标之和,

由图可知,两个函数共有8个交点,这8个交点的横坐标之和为4+4+4+4=16.

故答案为:16