Question

【题目】已知函数．

（1）当时，求函数的定义域；

（2）若函数有且仅有一个零点，求实数m的取值范围；

（3）任取，若不等式对任意恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

（1）将代入中,根据,解出不等式即可；

（2）由题,函数有且仅有一个零点,则可得方程有且仅有一个根,然后求出的范围；

（3）由条件可得对任意恒成立,求出的最大值和最小值代入该式即可得到的范围

（1）当时,，

要使函数有意义,则需,即,从而

故函数的定义域为

（2）若函数有且仅有一个零点,

则有且仅有一个根,即,即,

即有且仅有一个根

令,则有且仅有一个正根,

当时,,则,即,成立；

当时,若即时,,此时成立；

若,需,即,

综上，m的取值范围为

（3）若任取,不等式对任意恒成立,

即对任意恒成立,

因为在定义域上是单调减函数,

所以,,

即,

即,则,

所以,即,

又有意义,需,即,

所以,,

所以的取值范围为