Question

已知0＜a≤

1

3

，若f（x）=ax²-2x+1在区间[1，3]上的最大值为M（a），最小值为N（a），令g（a）=M（a）-N（a）．
（1）求函数g（a）的表达式；
（2）判断函数g（a）的单调性（只需说明，不用证明），并求g（a）的最小值．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）首先判断出函数f（x）=ax²-2x+1在区间[1，3]上为单调减函数，然后求出M（a）、N（a），进而求出g（a）的表达式即可；
（2）由一次函数的性质知，g（a）=-8a+4在区间（0，

1

3

]单调减，a为

1

3

时，g（a）取最小值，代入求解即可．

解答： 解：（1）函数f（x）=ax²-2x+1的对称轴为x=

1

a

∵0＜a≤

1

3

∴

1

a

≥3
∴函数f（x）=ax²-2x+1在区间[1，3]上为单调减函数
∴M（a）=f（1）=a-1，N（a）=f（3）=9a-5
∵g（a）=M（a）-N（a）
∴g（a）=-8a+4(0＜a≤

1

3

)
（2）由一次函数的性质知，g（a）=-8a+4在区间（0，

1

3

]单调减，
∴a为

1

3

时，g（a）取最小值；
∵g（

1

3

）=-8×

1

3

+4=

4

3

，
函数g(a)min=g(

1

3

)=

4

3

．

点评：本题主要考查了二次函数的性质及其运用，考查了函数的表达式以及最值的求法，属于中档题．