题目内容
2．已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长是3，线段MN的长是2，M在DD1上运动，N在平面ABCD上运动，则M，N的中点P形成的曲面与ABCD面，DCC1D1面，ADD1A1面所围成的几何体的体积是（ ）| A． | $\frac{4}{3}π$ | B． | $\frac{2}{3}π$ | C． | $\frac{π}{3}$ | D． | $\frac{π}{6}$ |
分析 根据题意，连接N点与D点，得到一个直角三角形△NMD，P为斜边MN的中点，所以|PD|的长度不变，进而得到点P的轨迹是球面的一部分，然后利用球的体积公式进行求解．
解答 
解：如图可得，端点N在正方形ABCD内运动，连接N点与D点，由ND，DM，MN构成一个直角三角形，
设P为MN的中点，根据直角三角形斜边上的中线长度为斜边的一半可得DP=$\frac{1}{2}$MN=1，
不论△MDN如何变化，P点到D点的距离始终等于1．
∴MN的中点P的轨迹是
不论△MDN如何变化，P点到D点的距离始终等于1．
故P点的轨迹是一个以D为中心，半径为1的球的$\frac{1}{8}$球面积．
体积为$\frac{1}{8}×\frac{4}{3}π×{1}^{3}$=$\frac{π}{6}$．
故选：D．
点评 本题主要考查点的轨迹方程的判断，考查球的体积公式，综合性较强．
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| A． | [$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{3}$]∪[$\frac{2π}{3}$，$\frac{3π}{4}$] | B． | [$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]∪[$\frac{2π}{3}$，$\frac{5π}{6}$] | C． | [$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$]∪[$\frac{4π}{3}$，$\frac{5π}{6}$] | D． | [$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{3}$]∪[$\frac{2π}{3}$，$\frac{5π}{5}$] |