题目内容

椭圆C₁的中心在原点，过点（0， $数学公式$ ），且右焦点F₂与圆C₂：（x-1）²+y²= $数学公式$ 的圆心重合．
（1）求椭圆C₁的方程；
（2）若点P是椭圆上的动点，EF是圆C₂的任意一条直径，求 $数学公式$ $数学公式$ 的最大值．
（3）过点F₂的直线l交椭圆于M、N两点，问是否存在这样的直线l，使得以MN为直径的圆过椭圆的左焦点F₁？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由；

解：（1）依题意得F₂（1，0），所以c=1，又过点（0， $\text{[math]}$ ），
因此a²=b²+c²=4．
故所求的椭圆C₁的方程为： $\text{[math]}$ ，
2） $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ，
∵ $\text{[math]}$ ∈[1，3]，∴ $\text{[math]}$ 的最大值为 $\text{[math]}$ ，
（3）由（1）知F₁（-1，0）以MN为直径的圆过F₁? $\text{[math]}$ ，
①若直线l斜率不存在．易知N（1， $\text{[math]}$ ），M（1，- $\text{[math]}$ ）
$\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ 合题意，
若直线l斜率k存在，可设直线为y=k（x-1），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
$\text{[math]}$ =（x₁+1，y₁）•（x₂+1，y₂）=（x₁+1）（x₂+1）+y₁y₂，
=（1+k²）x₁x₂+（1-k²）（x₁+x₂）+1+k² （*）
由 $\text{[math]}$ ，知（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，
∴ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，代入（*），
得 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
由 $\text{[math]}$ ，得k= $\text{[math]}$ ，
所以存在满足条件的直线，方程为： $\text{[math]}$ ．
分析：（1）依题意得c=1，a²=b²+c²=4．由此可求出椭圆C₁的方程．
2） $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ，由此可求出 $\text{[math]}$ 的最大值．
（3）由题意知F₁（-1，0）以MN为直径的圆过F₁? $\text{[math]}$ ，设直线为y=k（x-1），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）， $\text{[math]}$ =（x₁+1，y₁）•（x₂+1，y₂）=（x₁+1）（x₂+1）+y₁y₂=（1+k²）x₁x₂+（1-k²）（x₁+x₂）+1+k²，由 $\text{[math]}$ ，知（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，再由根与系数的关系进行求解．
点评：本题考查圆锥曲线的性质和综合应用，难度较大，解题时要注意挖掘隐含条件，认真审题，利用根与系数的关系，仔细解答．