题目内容
（2005•海淀区二模）设椭圆C1的中心在原点，其右焦点与抛物线C2：y2=4x的焦点F重合，过点F与x轴垂直的直线与C1交与A、B两点，与C2交于C、D两点，已知
=
（1）求椭圆C1的方程
（2）过点F的直线l与C1交与M、N两点，与C2交与P、Q两点，若
=
，求直线l的方程．
| |CD| |
| |AB| |
| 4 |
| 3 |
（1）求椭圆C1的方程
（2）过点F的直线l与C1交与M、N两点，与C2交与P、Q两点，若
| |PQ| |
| |MN| |
| 5 |
| 3 |
分析：（1）抛物线C2：y2=4x的焦点F（1，0），设椭圆C1的方程：
+
=1（a＞b＞0），解方程组
，得C（1，2），D（1，-2），由于C1，C2都关于x轴对称，故
=
=
，由此能求出椭圆C1的方程．
（2）设l：x=ty+1，解方程组
，消元得：y2-4ty-4=0，故△=16t2+16＞0，|PQ|=
•
=4（t2+1）．解方程组
，得（3t2+4）y2+6ty-9=0，故△=36t2+36（3t2+4）＞0，|MN|=
•
=
，由此能求出直线l的方程．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
|
| |FC| |
| |FA| |
| |CD| |
| |AB| |
| 4 |
| 3 |
（2）设l：x=ty+1，解方程组
|
| 1+t2 |
| 16t2+16 |
|
| 1+t2 |
12
| ||
| 3t2+4 |
| 12(t2+1) |
| 3t2+4 |
解答：解：（1）抛物线C2：y2=4x的焦点F（1，0），
设椭圆C1的方程：
+
=1（a＞b＞0），
解方程组
，得C（1，2），D（1，-2），
由于C1，C2都关于x轴对称，
∴
=
=
，
∴|FA|=
×2=
，
∴A(1，
)，∴
+
=1，
∵a2-b2=c2=1，
∴
+
=1，解得b2=3，
∴a2=4，∴椭圆C1的方程为：
+
=1．
（2）设l：x=ty+1，解方程组
，消元得：y2-4ty-4=0，
∴△=16t2+16＞0，
∴|PQ|=
•
=4（t2+1），
再解方程组
，得（3t2+4）y2+6ty-9=0，
∴△=36t2+36（3t2+4）＞0，
∴|MN|=
•
=
，
由
=
，即
=
，
解得t=
，
故直线l的方程为：y=
x-
或y=-
x+
．
设椭圆C1的方程：
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
解方程组
|
由于C1，C2都关于x轴对称，
∴
| |FC| |
| |FA| |
| |CD| |
| |AB| |
| 4 |
| 3 |
∴|FA|=
| 3 |
| 4 |
| 3 |
| 2 |
∴A(1，
| 3 |
| 2 |
| 1 |
| a2 |
| 9 |
| 4b2 |
∵a2-b2=c2=1，
∴
| 1 |
| b2+1 |
| 9 |
| 4b2 |
∴a2=4，∴椭圆C1的方程为：
| x2 |
| 4 |
| y2 |
| 3 |
（2）设l：x=ty+1，解方程组
|
∴△=16t2+16＞0，
∴|PQ|=
| 1+t2 |
| 16t2+16 |
再解方程组
|
∴△=36t2+36（3t2+4）＞0，
∴|MN|=
| 1+t2 |
12
| ||
| 3t2+4 |
| 12(t2+1) |
| 3t2+4 |
由
| |PQ| |
| |MN| |
| 5 |
| 3 |
| 4(t2+1) | ||
|
| 5 |
| 3 |
解得t=
| ||
| 3 |
故直线l的方程为：y=
| 3 |
| 3 |
| 3 |
| 3 |
点评：本题考查椭圆方程的求法和直线方程的求法，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答
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