题目内容
（2005•海淀区二模）设椭圆C1的中心在原点，其右焦点与抛物线C2：y2=4x的焦点F重合，过点F与x轴垂直的直线与C1交于A、B两点，与C2交于C、D两点，已知| |CD| |
| |AB| |
| 4 |
| 3 |
（Ⅰ）过点F且倾斜角为
| π |
| 3 |
（Ⅱ）求椭圆C1的方程．
分析：（Ⅰ）由抛物线方程求出交点F的坐标，写出直线l的方程，和抛物线方程联立后利用弦长公式求得|PQ|的值；
（Ⅱ）联立抛物线和直线x=1求出C和D的坐标，根据对称性得到
=
=
，由此得到A的坐标，代入椭圆方程，结合隐含条件机焦点坐标可求a，b的值，则椭圆方程可求．
（Ⅱ）联立抛物线和直线x=1求出C和D的坐标，根据对称性得到
| |FC| |
| |FA| |
| |CD| |
| |AB| |
| 4 |
| 3 |
解答：解：（I）由y2=4x，得F（1，0），倾斜角为
，∴斜率为
．
则l：y=
(x-1)
由方程组
，得3x2-10x+3=0
△=100-4×9=64＞0．
设P（x1，y1），Q（x2，y2）
则x1+x2=
，x1x2=1．
∴|PQ|=
•
=
；
（II）解方程组
，得C（1，2），D（1，-2）
由于C1，C2，都关于x轴对称，
∴
=
=
|FA|=
×2=
∴A（1，
）．
∴
+
=1，又a2-b2=c2=1
得
+
=1．
解得：b2=3，∴a2=4
∴
+
=1为所求．
| π |
| 3 |
| 3 |
则l：y=
| 3 |
由方程组
|
△=100-4×9=64＞0．
设P（x1，y1），Q（x2，y2）
则x1+x2=
| 10 |
| 3 |
∴|PQ|=
| 1+3 |
| ||
| 3 |
| 16 |
| 3 |
（II）解方程组
|
由于C1，C2，都关于x轴对称，
∴
| |FC| |
| |FA| |
| |CD| |
| |AB| |
| 4 |
| 3 |
|FA|=
| 3 |
| 4 |
| 3 |
| 2 |
∴A（1，
| 3 |
| 2 |
∴
| 1 |
| a2 |
| 9 |
| 4b2 |
得
| 1 |
| b2+1 |
| 9 |
| 4b2 |
解得：b2=3，∴a2=4
∴
| x2 |
| 4 |
| y2 |
| 3 |
点评：本题考查了椭圆的标准方程，考查了直线与圆锥曲线的关系，利用圆锥曲线的对称性是解答该题的关键，是中高档题．
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