Question

椭圆C₁的中心在原点，过点（0，

3

），且右焦点F₂与圆C₂：（x-1）²+y²=

1

4

的圆心重合．
（1）求椭圆C₁的方程；
（2）若点P是椭圆上的动点，EF是圆C₂的任意一条直径，求

PE

•

PF

的最大值．
（3）过点F₂的直线l交椭圆于M、N两点，问是否存在这样的直线l，使得以MN为直径的圆过椭圆的左焦点F₁？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由；

Answer 1

分析：（1）依题意得c=1，a²=b²+c²=4．由此可求出椭圆C₁的方程．
2）

PE

•

PF

=(

F2E

-

F2P

)  •(

F2F

-

F2P

)=-

1

2

×

1

2

cosπ-0+|

F2P

|2-

1

4

+ |

F2P

|2，由此可求出

PE

•

PF

的最大值．
（3）由题意知F₁（-1，0）以MN为直径的圆过F₁?

F1M

 •

F1N

=0，设直线为y=k（x-1），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），

F1M

•

F1N

=（x₁+1，y₁）•（x₂+1，y₂）=（x₁+1）（x₂+1）+y₁y₂=（1+k²）x₁x₂+（1-k²）（x₁+x₂）+1+k²，由

x2 4 + y2 3 =1 y=k(x-1)

，知（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，再由根与系数的关系进行求解．

解答：解：（1）依题意得F₂（1，0），所以c=1，又过点（0，

3

），
因此a²=b²+c²=4．
故所求的椭圆C₁的方程为：

x2

4

+

y2

3

=1，
2）

PE

•

PF

=(

F2E

-

F2P

)  •(

F2F

-

F2P

)
=

F2E

-

F2F

-

F2E

-

F2P

-

F2F

+

F2P

-

F2P

=-

1

2

×

1

2

cosπ-0+|

F2P

|2-

1

4

+ |

F2P

|2，
∵| 

F2P

|∈[1，3]，∴

PE

•

PF

的最大值为

35

4

，
（3）由（1）知F₁（-1，0）以MN为直径的圆过F₁?

F1M

 •

F1N

=0，
①若直线l斜率不存在．易知N（1，

3

2

），M（1，-

3

2

）

F1N

•

F1M

=(2，

3

2

) •(2，-

3

2

) =4-

9

4

≠0合题意，
若直线l斜率k存在，可设直线为y=k（x-1），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）

F1M

•

F1N

=（x₁+1，y₁）•（x₂+1，y₂）=（x₁+1）（x₂+1）+y₁y₂，
=（1+k²）x₁x₂+（1-k²）（x₁+x₂）+1+k²  （*）
由

x2 4 + y2 3 =1 y=k(x-1)

，知（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，
∴x1+x2=

8k2

3+4k2

，x1x2=

4k2-12

3+4k2

，代入（*），
得

F1M

•

F1N

=

7k2-9

3+4k2

，
由

F1M

•

F1N

=0，得k=±

3

7

7

，
所以存在满足条件的直线，方程为：3x±

7

y-3=0．

点评：本题考查圆锥曲线的性质和综合应用，难度较大，解题时要注意挖掘隐含条件，认真审题，利用根与系数的关系，仔细解答．