Question

11．已知f（x）=2sinx（sinx+cosx），x∈R．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）若$f（\frac{a}{2}）$=1+$\frac{{3\sqrt{2}}}{5}，\frac{3π}{4}$＜a＜$\frac{5π}{4}$，求cosa的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的单调性求得函数f（x）的单调递增区间．
（Ⅱ）根据$f（\frac{a}{2}）$=1+$\sqrt{2}$sin（a-$\frac{π}{4}$）=1+$\frac{3\sqrt{2}}{5}$，求得sin（a-$\frac{π}{4}$） 的值，可得cos（a-$\frac{π}{4}$） 的值，再根据 cosa=cos[（a-$\frac{π}{4}$）+$\frac{π}{4}$]，利用两角和的余弦公式计算求得结果．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=2sinx（sinx+cosx）=2sin²x+2sinxcosx
=2•$\frac{1-cos2x}{2}$+sin2x=1+sin2x-cos2x=1+$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$），
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得kπ-$\frac{π}{8}$≤x≤kπ+$\frac{3π}{8}$，
可得函数的增区间为[kπ-$\frac{π}{8}$，kπ+$\frac{3π}{8}$]k∈Z．
（Ⅱ）∵$f（\frac{a}{2}）$=1+$\sqrt{2}$sin（a-$\frac{π}{4}$）=1+$\frac{3\sqrt{2}}{5}$，∴sin（a-$\frac{π}{4}$）=$\frac{3}{5}$，$\frac{π}{2}$＜a-$\frac{π}{4}$＜π，
∴cos（a-$\frac{π}{4}$）=-$\sqrt{{1-sin}^{2}（a-\frac{π}{4}）}$=-$\frac{4}{5}$，
∴cosa=cos[（a-$\frac{π}{4}$）+$\frac{π}{4}$]=cos（a-$\frac{π}{4}$）cos$\frac{π}{4}$-sin （a-$\frac{π}{4}$）sin$\frac{π}{4}$
=-$\frac{4}{5}$•$\frac{\sqrt{2}}{2}$-$\frac{3}{5}•\frac{\sqrt{2}}{2}$=-$\frac{7\sqrt{2}}{10}$．

点评 本题主要考查三角恒等变换、正弦函数的单调性，同角三角函数的基本关系，两角和的余弦公式的应用，属于中档题．