Question

已知n是正整数，若

C

2 n

+

C

3 n

＜

C

4 n

，则n的取值范围是

n≥9且n∈N⁺

．

Answer 1

分析：根据题意，由组合数的性质可将

C

2 n

+

C

3 n

＜

C

4 n

变形为C_n+1³＜C_n⁴，由组合数公式将其展开可得

(n+1)n(n-1)

3×2×1

＜

n×(n-1)×(n-2)×(n-3)

4×3×2×1

，整理变形可得n²-9n+2＞0，解可得n的取值范围，结合n为正整数，综合可得答案．

解答：解：根据题意，C_n²+C_n³=C_n+1³，
则

C

2 n

+

C

3 n

＜

C

4 n

⇒C_n+1³＜C_n⁴，
即

(n+1)n(n-1)

3×2×1

＜

n×(n-1)×(n-2)×(n-3)

4×3×2×1

，
变形可得n²-9n+2＞0；
解可得n＞

9+ 73

2

或n＜

9- 73

2

，
又由n是正整数，
则n≥9且n∈N⁺，
故答案为n≥9且n∈N⁺．

点评：本题考查组合数公式的性质，注意牢记组合数公式与组合数公式的性质．