Question

已知n次多项式S_n（x）=（1+2x）（1+4x）（1+8x）…（1+2ⁿx），其中n是正整数．记S_n（x）的展开式中x的系数是a_n，x²的系数是b_n．
（Ⅰ）求a_n；
（Ⅱ）证明：b_n+1-b_n=4ⁿ⁺¹-2ⁿ⁺²；
（Ⅲ）是否存在等比数列{c_n}和正数c，使得b_n=（c_n-c）（c_n+1-c）对任意正整数n成立？若存在，求出通项c_n和正数c；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）展开式中x的系数可看成：第一个括号取2x，其余均取1，第二个括号取4x，其余均取1，…，第n个括号取2ⁿx，其余均取1，则a_n=2+4+…+2ⁿ；
（Ⅱ）由题意可得 Sn+1(x)=(1+2n+1x)•Sn(x)．从而bn+1=bn+2n+1an，借助（Ⅰ）可得结论；
（Ⅲ）由（Ⅱ）利用累加法求得b_n，根据条件形式可得结论；

解答：（Ⅰ）解：由题意得，an=2+4+…+2n，即 an=

2(1-2n)

1-2

=2n+1-2．
（Ⅱ）证明：由Sn(x)=(1+2x)(1+4x)…(1+2nx)，
得 Sn+1(x)=(1+2n+1x)•Sn(x)．
所以 bn+1=bn+2n+1•an=bn+2n+2(2n-1)，即 bn+1-bn=2n+2(2n-1)=4n+1-2n+2．
（Ⅲ）解：由S₁（x）=1+2x，得b₁=0．
当n≥2时，
由 bn=

n

k=2

(bk-bk-1)=

n

k=2

2k+1(2k-1-1)=4[

22-22n

1-4

-

2-2n

1-2

]=4(2-2n)(1-

2+2n

3

)，
得 bn=

8

3

(2n-1-1)(2n-1)．
当n=1时，b₁=0也适合上式，故bn=

8

3

(2n-1-1)(2n-1)，n∈N^*．
因此，存在正数c=

8 3

=

2 6

3

和等比数列cn=c•2n-1=

6

3

•2n，使得b_n=（c_n-c）（c_n+1-c）对于任意
正整数n成立．

点评：本题考查由数列递推式求数列通项、数列求和，考查学生分析问题解决问题的能力．