Question

4．若在曲线f（x，y）=0（或y=f（x））上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线f（x，y）=0（或y=f（x））的自公切线，下列方程的曲线：①x²-y²=1；②y=x²-|x|；③|x|+1=$\sqrt{4-{y}^{2}}$；④y=3sinx+4cosx存在自公切线的是（　　）

• A． ①③
• B． ①④
• C． ②③
• D． ②④

Answer 1

分析 ①x²-y²=1 是一个等轴双曲线，没有自公切线；
②在x=$\frac{1}{2}$ 和 x=-$\frac{1}{2}$处的切线都是y=-$\frac{1}{4}$，故②有自公切线．
③结合图象可得，此曲线没有自公切线；
④此函数是周期函数，过图象的最高点的切线都重合或过图象的最低点的切线都重合，
故此函数有自公切线．

解答 解：①x²-y²=1 是一个等轴双曲线，没有自公切线；
②y=x²-|x|=$\left\{\begin{array}{l}{（x-\frac{1}{2}）^{2}-\frac{1}{4}，x≥0}\\{（x+\frac{1}{2}）^{2}-\frac{1}{4}，x＜0}\end{array}\right.$，在 x=$\frac{1}{2}$ 和 x=-$\frac{1}{2}$处的切线都是y=-$\frac{1}{4}$，
故②有自公切线；
③由于|x|+1=$\sqrt{4-{y}^{2}}$，
即 x²+2|x|+y²-3=0，结合图象可得，此曲线没有自公切线；
④y=3sinx+4cosx=5sin（x+φ），cosφ=$\frac{3}{5}$，sinφ=$\frac{4}{5}$，
此函数是周期函数，
过图象的最高点的切线都重合或过图象的最低点的切线都重合，
故此函数有自公切线．
其中存在自公切线为②④．
故选：D．

点评 正确理解新定义“自公切线”，正确画出函数的图象、数形结合的思想方法是解题的关键．