Question

8．已知函数f（x）=e^x-ax-1．
（1）若a=1，求证：f（x）≥0；
（2）求函数y=f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）求导函数，可得函数在（-∞，0）上单调递减，在（0，+∞）是单调递增函数，即可证明结论；
（2）分类讨论，确定函数的单调性，即可求函数y=f（x）的值域．

解答 （1）证明：a=1，f′（x）=e^x-1，
∴x＜0，f′（x）＜0；x＞0，f′（x）＞0，
∴函数在（-∞，0）上单调递减，在（0，+∞）是单调递增函数，
∴f（x）≥f（0）=0，
∴f（x）≥0；
（2）解：f′（x）=e^x-a
①a≤0时，f′（x）＞0，f（x）是单调递增函数，函数y=f（x）的值域为R；
②当a＞0时，函数f（x）在（-∞，lna）上递减，在（lna，+∞）上递增，
函数f（x）有极小值f（lna）=a-alna-1，
函数y=f（x）的值域为[a-alna-1，+∞）．

点评 本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，正确求导数，确定函数的单调性是关键．