Question

17．已知数列{a_n}的各项满足a_k=1-3k（k∈R），a_n=4^n-1-3a_n-1（n≥2），则a_n=$（k-\frac{1}{7}）•（-3）^{n}+\frac{{4}^{n}}{7}$．

Answer 1

分析 利用已知a_n=4^n-1-3a_n-1（n≥2，k∈R）得到${a}_{n+1}={4}^{n}-3{a}_{n}$（n≥1，k∈R），进一步得到${a}_{n+1}-\frac{{4}^{n+1}}{7}=-3（{a}_{n}-\frac{{4}^{n}}{7}）$（n≥1，k∈R），对k讨论后求出等比数列的通项公式，得到数列{a_n}的通项公式，验证使首项为0的k后得答案．

解答 解：∵a_n=4^n-1-3a_n-1（n≥2，k∈R），
∴${a}_{n+1}={4}^{n}-3{a}_{n}$（n≥1，k∈R），
则${a}_{n+1}-\frac{{4}^{n+1}}{7}=-3（{a}_{n}-\frac{{4}^{n}}{7}）$（n≥1，k∈R），
而a₁=1-3k，
∴${a}_{1}-\frac{4}{7}=1-3k-\frac{4}{7}=-3（k-\frac{1}{7}）$．
当k≠$\frac{1}{7}$时，${a}_{1}-\frac{4}{7}≠0$，则数列{a_n-$\frac{{4}^{n}}{7}$}成等比数列，
则${a}_{n}-\frac{{4}^{n}}{7}=-3（k-\frac{1}{7}）•（-3）^{n-1}$，
∴${a}_{n}=（k-\frac{1}{7}）•（-3）^{n}+\frac{{4}^{n}}{7}$；
当k=$\frac{1}{7}$时，${a}_{1}-\frac{4}{7}=0$，上式成立．
∴${a}_{n}=（k-\frac{1}{7}）•（-3）^{n}+\frac{{4}^{n}}{7}$．
故答案为：$（k-\frac{1}{7}）•（-3）^{n}+\frac{{4}^{n}}{7}$．

点评 本题考查了数列递推式，考查了等比关系的确定，考查了推理能力和计算能力，训练了分类讨论的思想方法，由数列递推式构造等比数列是解决该题的关键，属于中档题．