Question

(本小题满分14分) 

已知函数  ().

（Ⅰ）当曲线在处的切线与直线垂直时，求的值；

（Ⅱ）求函数的单调区间.

（III）求证：

Answer 1

【解】，，   .................2分

（I）由题意可得，即  解得，    .............3分

（II） 由知：............5分

①当时，，在区间和上，；

在区间上，. ............6分

故的单调递减区间是和，单调递增区间是. ........7分

②当时，， 在区间上；在区间上......8分                 

故的单调递增区间是，单调递减区间是. ............9分

综上所述：

当时，函数的单调递减区间是和，单调递增区间是；

当时，函数的单调递增区间是，单调递减区间是..........10分

（III）由（II）及（I）知：当时，，且

即当时，恒有成立

由知：

∴  得

∴

即.............14分