Question

【题目】设抛物线的焦点为F，准线为，直线l与C交于A，B两点，线段AB中点M的横坐标为2.

（1）求C的方程；

（2）若l经过F，求l的方程.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）根据抛物线的准线方程，即可求得抛物线的标准方程.

（2）作垂直准线交于，作垂直准线交于，交轴于，作垂直准线交于.当直线斜率不存在时，不合题意，当斜率存在时，设出直线方程，联立抛物线，化简后由韦达定理并结合中点的横坐标，即可确定斜率，进而求得直线方程.

（1）抛物线的准线为，

则，解得，

所以抛物线.

（2）作垂直准线交于，作垂直准线交于，交轴于，作垂直准线交于，几何关系如下图所示：

因为线段AB中点M的横坐标为2.

则，

由梯形中位线可知

由抛物线定义可知

直线经过F，当斜率不存在时，不合题意，

所以直线斜率一定存在，

抛物线，则焦点.

设直线的方程为，

联立抛物线，化简可得，

则，

解得，

所以直线的方程为.