题目内容
11．已知点F是双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0．b＞0）的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若∠AEB为锐角，则该双曲线的离心率e的取值范围是（1，2）．分析 根据双曲线的对称性，得到等腰△ABE中，∠AEB为锐角，可得|AF|＜|EF|，将此式转化为关于a、c的不等式，化简整理即可得到该双曲线的离心率e的取值范围．
解答 
解：根据双曲线的对称性，
△ABE中，|AE|=|BE|，
∴△ABE是锐角三角形，即∠AEB为锐角，
由此可得Rt△AFE中，∠AEF＜45°，得|AF|＜|EF|，
令x=-c，可得y=±b$\sqrt{\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}-1}$=±$\frac{{b}^{2}}{a}$，
即有|AF|=$\frac{{b}^{2}}{a}$=$\frac{{c}^{2}-{a}^{2}}{a}$，|EF|=a+c，
∴$\frac{{c}^{2}-{a}^{2}}{a}$＜a+c，即2a2+ac-c2＞0，
两边都除以a2，得e2-e-2＜0，解之得-1＜e＜2，
∵双曲线的离心率e＞1
∴该双曲线的离心率e的取值范围是（1，2）．
故答案为：（1，2）．
点评 本题给出双曲线过一个焦点的通径与另一个顶点构成锐角三角形，求双曲线离心率的范围，着重考查了双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于中档题．
练习册系列答案
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| A． | 3 | B． | 2 | C． | 1 | D． | 0 |
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| A． | $\frac{4\sqrt{3}}{3}$ | B． | 4$\sqrt{3}$ | C． | 2$\sqrt{3}$ | D． | $\frac{2\sqrt{3}}{3}$ |
16．已知双曲线$C：\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$，它的一个顶点到较近焦点的距离为1，焦点到渐近线的距离是$\sqrt{3}$，则双曲线C的方程为（ ）
| A． | x2-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1 | B． | $\frac{{x}^{2}}{3}$-y2=1 | C． | $\frac{{x}^{2}}{\sqrt{3}}$-y2=1 | D． | x2-$\frac{{y}^{2}}{9}$=1 |
3．双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞0，b＞0）的一条渐近线与抛物线y=x2+2只有一个公共点，则该双曲线的离心率为（ ）
| A． | 3 | B． | 2 | C． | $\sqrt{3}$ | D． | $\sqrt{5}$ |
20．离心率为2的双曲线E的一个焦点到一条渐近线的距离为1，则E的标准方程可以是（ ）
| A． | 3x2-y2=1 | B． | $\frac{x^2}{3}-{y^2}$=1 | C． | x2-3y2=1 | D． | ${x^2}-\frac{y^2}{3}=1$ |
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| A． | $（\frac{{\sqrt{6}+\sqrt{2}}}{2}，+∞）$ | B． | （$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$，$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$） | C． | $（\sqrt{6}+\sqrt{2}，+∞）$ | D． | $（1，\sqrt{6}+\sqrt{2}）$ |