Question

14．已知函数y=$\frac{3x}{x+2}$
（1）若0≤y≤1，求自变量x的取值范围
（2）若0≤x≤4，求函数值y的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用分式函数的性质解不等式0≤y≤1，即可求自变量x的取值范围
（2）若0≤x≤4，根据分式函数的单调性即可得到结论．

解答 解：（1）y=$\frac{3x}{x+2}$=$\frac{3（x+2）-6}{x+2}$=3-$\frac{6}{x+2}$，
若0≤y≤1，
则0≤3-$\frac{6}{x+2}$≤1，
即-3≤-$\frac{6}{x+2}$≤-2，
即2≤$\frac{6}{x+2}$≤3，
$\frac{1}{3}≤$$\frac{x+2}{6}$$≤\frac{1}{2}$，
即2≤x+2≤3，
解得0≤x≤1，即自变量x的取值范围是[0，1]．
（2）∵y=$\frac{3x}{x+2}$=$\frac{3（x+2）-6}{x+2}$=3-$\frac{6}{x+2}$，在[0，4]上为增函数
∴当x=0时，y最小，y=0，
当x=4时，y最大，y=$\frac{3×4}{4+2}=\frac{12}{6}$=2，
即0≤y≤2，
即函数值y的取值范围是[0，2]．

点评 本题主要考查分式函数的性质，利用分子常数化，结合函数的单调性是解决本题的关键．