Question

函数f(x)=

1

1+x+x2

的最大值为（　　）

• A、1
• B、

  1

  2

• C、

  3

  4

• D、

  4

  3

Answer 1

分析：以函数的分母为对象进行研究：设t=1+x+x²，则t=（x+

1

2

）²+

3

4

，从而0＜

1

t

≤

4

3

，所以f（x）的值域为：（0，

4

3

]，从而得出函数的最大值，找到正确选项．

解答：解：设t=1+x+x²，则t=（x+

1

2

）²+

3

4

，
可得当x=-

1

2

时，t有最小值

3

4

，说明在R上t＞0恒成立，
故0＜

1

t

≤

4

3

，
而f(x)=

1

1+x+x2

=

1

t

，
所以当x=-

1

2

时，函数f（x）的最大值为

4

3

故选D

点评：本题着重考查了二次函数的值域问题以及函数最值的应用，属于中档题．能够利用倒数法则进行简单的变形，来求函数的值域，是解决本题的关键．