Question

已知f（x）=．
（1）a=2时，求f（x）的极值；
（2）当a＜0时，讨论f（x）的单调性；
（3）证明：（1）（1）…＜e（n∈N^*，n≥2，其中无理数e=2.71828L）

Answer 1

【答案】分析：（1）当a=2时，利用导数先求出函数的单调性，然后判断函数的极值．（2）当a＜0时，通过导数判断函数的单调性．（3）利用（2）的结论，通过构造函数，利用方缩法去证明不等式．
解答：解：，
（1）当a=2时，．由f'（x）＞0，解得，此时函数递增．
由f'（x）＜0，解得，此时函数递减．所以当x=-2时，函数取得极大值，
当x=时，函数取得极小值．
（2）当-1＜a＜0时，由f'（x）＞0，解得，此时函数递增．由f'（x）＜0，解得或x＜-a，此时函数递减．
当a=-1时，f'（x）≤0恒成立，此时函数在R上单调递减．
当a＜-1时，由f'（x）＞0，解得，此时函数递增．由f'（x）＜0，解得或x＞-a，此时函数递减．
综上：当a=-1时，函数的单调递减区间为R．
     当-1＜a＜0时，增区间为，单调减区间为（-∞，-a）和．
      当a＜-1时，增区间为，单调减区间为（-a，+∞）和．
（3）由（2）知当a=-1时，函数f（x）在R上单调递减．当x＞0时，f（x）＜f（0），所以ln（1+x²）-x＜0，即ln（1+x²）＜x．
所以ln（1）（1）…=ln（1）+ln（1）+…+ln＜
，
所以（1）（1）…＜e．
点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性问题，以及利用函数的单调性证明不等式，在证明不等式的过程中使用了方缩放证明不等式，综合性较强，难度较大．