Question

已知f（x）=2cos²x+asin2x+b-1（a＞0）的最大值比最小值大4．
（1）求a的值；
（2）当x∈[0，

π

2

]时，|f（x）|≤3恒成立，求实数b的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用降幂公式、辅助角公式将f（x）化为f（x）=

a2+1

sin（2x+φ）+b，由题意可求a的值；
（2）由（1）知f（x）=2sin（2+

π

6

）+b，由x∈[0，

π

2

]可得2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，从而可得f（x）∈[b-1，b+2]，结合可得|f（x）|≤3恒成立，可求实数b的取值范范．

解答：解：（1）f（x）=cos2x+asin2x+b=

a2+1

sin（2x+φ）+b，
∴2

a2+1

=4，又a＞0，
∴a=

3

．
（2）由（1）知f（x）=2cos²x+

3

sin2x+b-1
=cos2x+

3

sin2x+b
=2sin（2+

π

6

）+b，
当x∈[0，

π

2

]时，2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，
∴-

1

2

≤sin（2+

π

6

）≤1，-1≤2sin（2+

π

6

）≤2，
∴f（x）∈[b-1，b+2]，
∴-3≤b-1且b+2≤3，得-2≤b≤1．

点评：本题考查三角函数的最值，将f（x）化为f（x）=2sin（2+

π

6

）+b是关键，考查降幂公式、辅助角公式的应用，考查正弦函数的性质，考查分析与运算能力，属于中档题．