Question

【题目】设，函数.

（1）若，求曲线在处的切线方程；

（2）若无零点，求实数的取值范围；

（3）若有两个相异零点， ，求证：

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）见解析

【解析】试题分析：（1）根据导数几何意义得切线斜率为，再根据点斜式求切线方程（2）由于无零点，且函数恒有负值，所以函数最大值必小于零，根据导数可得函数最值，即得实数的取值范围；也可先变量分离，根据两函数交点情况求实数的取值范围（3）利用分析法证不等式，要证，只要证，根据零点条件可得，令，构造函数， ，利用导数可得单调性，即得，逆推可得结论

试题解析：（1）函数的定义域为， ，

当时， ，则切线方程为，

即.

（2）①若时，则， 是区间上的增函数，

∵， ，

∴，函数在区间有唯一零点；

②若， 有唯一零点；

③若，令，得，

在区间上， ，函数是增函数；

在区间上， ，函数是减函数；

故在区间上， 的极大值为，

由于无零点，须使，解得，

故所求实数的取值范围是.

（3）要证，两边同时取自然对数得.

由得，得.

所以原命题等价于证明.

因为，故只需证，即.

令，则，设（），只需证.

而，故在单调递增，所以.

综上得.