Question

已知椭圆C经过点A,两个焦点分别为(-1,0),(1,0).

(1) 求椭圆C的方程;

(2) E,F是椭圆C上的两个动点,如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数,证明直线EF的斜率为定值,并求出这个定值.

Answer 1

 (1) 由题意,c=1,可设椭圆方程为+=1(b>0).

因为点A在椭圆上,所以+=1,

解得b2=3,b2=-(舍去).

所以椭圆方程为+=1.

(2) 设直线AE的方程为y=k(x-1)+,代入+=1得(3+4k2)x2+4k(3-2k)x+4-12=0.

设E(xE,yE),F(xF,yF).因为点A在椭圆上,所以xE=,yE=kxE+-k.

又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数,在上式中以-k代替k,可得xF=,yF=-kxF++k.

所以直线EF的斜率kEF===.

所以直线EF的斜率为定值,其值为.