已知椭圆$C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$过点$A(-\frac{{\sqrt{2}}}{2}.\frac{{\sqrt{3}}}{2})$.且短轴两个顶点与一个焦点恰好为直角三角形．(1)求椭圆C的标准方程,(2)是否存在以原点为圆心的圆.使得该圆的任意一条切线与椭圆C恒有两个交点P.Q.且$\overrightarrow{OP}� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

13．已知椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$过点$A（-\frac{{\sqrt{2}}}{2}，\frac{{\sqrt{3}}}{2}）$，且短轴两个顶点与一个焦点恰好为直角三角形．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）是否存在以原点为圆心的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆C恒有两个交点P，Q，且$\overrightarrow{OP}⊥\overrightarrow{OQ}$？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由．

分析（1）由题意得：$a=\sqrt{2}b$，$\frac{1}{2{b}^{2}}+\frac{3}{4{b}^{2}}$=1，由此能求出椭圆C的方程．
（2）假设满足条件的圆存在，其方程为：x²+y²=r²（0＜r＜1），设直线方程为y=kx+m，二者联立，得：（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0，由此利用韦达定理、向量垂直、直线与圆相切，结合已知能求出存在圆心在原点的圆满足题意．

解答解：（1）∵椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$过点$A（-\frac{{\sqrt{2}}}{2}，\frac{{\sqrt{3}}}{2}）$，且短轴两个顶点与一个焦点恰好为直角三角形，
∴由题意得：$a=\sqrt{2}b$，$\frac{1}{2{b}^{2}}+\frac{3}{4{b}^{2}}$=1，
解得a=$\sqrt{2}$，b=1，
∴椭圆C的方程为$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$．…（5分）
（2）假设满足条件的圆存在，其方程为：x²+y²=r²（0＜r＜1）
当直线P，Q的斜率存在时，设直线方程为y=kx+m，
由$\left\{{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{{x^2}+2{y^2}=2}\end{array}}\right.$，得：（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0，
令P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则有：${x_1}+{x_2}=-\frac{4km}{{1+2{k^2}}}$，${x_1}{x_2}=\frac{{2{m^2}-2}}{{1+2{k^2}}}$…（8分）
∵$\overrightarrow{OP}$⊥$\overrightarrow{OQ}$，∴${x_1}{x_2}+{y_1}{y_2}=0⇒（1+{k^2}）{x_1}{x_2}+km（{x_1}+{x_2}）+{m^2}=0$．
∴$\frac{{（1+{k^2}）（2{m^2}-2）}}{{1+2{k^2}}}-\frac{{4{k^2}{m^2}}}{{1+2{k^2}}}+{m^2}=0$，∴3m²=2k²+2．…（10分）
∵直线PQ与圆相切，∴${r^2}=\frac{m^2}{{1+{k^2}}}=\frac{2}{3}$，∴存在圆${x^2}+{y^2}=\frac{2}{3}$
当直线PQ的斜率不存在时，也适合${x^2}+{y^2}=\frac{2}{3}$．
综上所述，存在圆心在原点的圆${x^2}+{y^2}=\frac{2}{3}$满足题意．…（12分）